探究斐波那契数列的通项公式及简单性质

本文介绍了人教A版《普通高中课程标准实验教科书·选择性必修二》中斐波那契数列的呈现内容，为解决如何从递推公式推导出斐波那契数列的通项公式，采用在数学归纳法的基础上证明通项公式，从结论出发分别采用构造等比数列、通过找特解和通解以及矩阵的特征值和特征向量的方式分别探求出斐波那契数列的通项公式，并根据研究数列的一般方法进一步探究斐波那契数列的简单性质，为开展数学探究活动提供范式。

数学探究活动是研究数学内部问题的一类综合实践活动，是综合提升学生的数学核心素养的有效载体[1]。参与数学建模与数学探究活动的学生需要自己主动地发现、提出、分析、解决问题，这正是时代所需要的问题意识、创新精神和实践能力。为了更好地在开展数学探究的活动，教科书通过设置观察、思考探究、归纳等多种栏目，使学生掌握类比、归纳、演绎等数学研究的方法。教科书结合具体的数学问题将探究的学习方式应用到新知识的获取中，同时也设计了一些小型的探究活动，这些都为学生完整地经历数学探究活动作好了准备[2]。在教学中，教师应注重挖掘教材中蕴含的探究素材，在各阶段穿插设计小型的探究活动。本文将以斐波那契数列为例，探究其通项公式及简单的性质。

2. 斐波那契数列在人教A 版教科书中的呈现 1202 年，在意大利数学家斐波那契的出版了他的《算盘全书》，他的书中收录了一些有意思的问题， 其中一个是关于兔子繁殖问题：如果一对刚出生的小兔子一个月后能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小兔子(一雌一雄)， 此后每个月生一对小兔子。

如果不发生死亡，一年内逐月的小兔子对数是一组非常特殊的数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……不难发现，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，这个数列称为斐波那契数列[3]。

人教A 版《普通高中课程标准实验教科书·选择性必修二》中，在学习了数列的定义后、等差数列之前，以阅读形式呈现了斐波那契数列。主要内容有：1) 介绍《算盘全书》中兔子繁殖问题，并以表格形式呈现兔子的数对，并给出斐波那契数列的递推公式；2) 介绍斐波那契数列有趣的性质，重点介绍了22221231nnnFFFFF F +++++=及“斐波那契螺旋”；3) 举例，树木的生长模式(每年的幼枝数)、向日葵的种子排列形式、蒲公英的种子和松塔的鳞片的排列等三个生活中的斐波那契数列实例；4) 斐波那契数列的广泛应用性。

在学习完数列这一章，在复习参考题4 拓广探索的第16 题又再次出现了斐波那契数列 的题目，若数列{}nF满足()*12121, 1, 3, nnnFFFFFnnN−−===+≥∈，则称{}nF为斐波那契数列，试用数学归纳法证明其通项公式为11515225nnnF+−=−。