基于简化Lorenz混沌电路的频率特性分析

在混沌系统的硬件电路中通过配置积分电路的积分常数可以改变系统时间尺度变换的大小，然而积分电路的不同参数配置会改变系统信号频率分布范围。信号频率分布范围的改变将对系统的非线性动力特性产生什么样的影响？本文通过改变混沌电路中的积分时间常数，观察系统信号的震荡频率范围的变化。利用简化Lorenz系统的电路仿真分析积分电路的参数配置对混沌系统信号的震荡频率范围改变，并探讨该改变对混沌系统非线性动力特性的潜在影响。实验结果显示积分电路的参数配置将改变混沌系统信号的震荡频率范围，但并不改变系统的混沌特性。在基于忆阻器的混沌系统中由于忆阻器所展示的随频率变化的伏安特性将对系统的非线性动力特性产生潜在影响。

混沌是非线性动力系统中的一种新的存在形式，是非线性动力系统的一个重要组成部分。混沌貌似有序却又无序，存在一定的确定性现象又不缺乏随机性。混沌系统具有正的Lyapunov 指数，对于初始值的选取极其敏感，很微小的变化都会导致出现不同的结果。2008 年HP 实验室发现的忆阻器实物模型[1]引发了忆阻器和基于忆阻器的混沌系统的研究热潮[2]-[8]。在通过搭建实际硬件电路来研究混沌系统方面[9] [10] [11]，众多的研究者通常只改变某组混沌系统控制参数所对应的电路参数来获取系统吸引子相图，以验证控制参数对于系统的非线性动力特性的影响，并没有分析其系统信号频率范围以及该频率范围的选取范围对于原系统非线性动力特性的影响[2]-[10]。文献[1]的图2(b)展示了随着频率的增加，忆阻器的伏安特性曲线由100 Hz 时所拥有的八字环型在1000 Hz 时坍塌为一条直线，此结果揭示在基于忆阻器的混沌电路实现中，由于忆阻器元器件的伏安特性将会随着信号频率的改变而变化，混沌电路信号的震荡频率范围改变可能对系统的非线性动力特性产生潜在影响。本研究以简化Lorenz 系统为例，分析积分电路的参数配置对混沌系统信号的震荡频率范围改变及其对于非线性动力系统特性的潜在影响。

2. 简化Lorenz 系统 简化Lorenz 系统数学模型如(1)式所示， 它具有丰富的动力学特性， 其系统参数c 在[−1.59, 7.75]的范围内取值时系统处于混沌状态,当取值为−1 时，该系统为经典的Lorenz 系统[9] [10] [11] [12] [13]。

()()1024483xyxyc xxzcyzxyz=−=−−+=− (1) 经变量比例压缩及时间尺度变换，数学模型(1)所对应的电路模型状态方程如(2)所示。改变电路模型的可调电阻R14 的阻值可以等效为改变系统(1)中参数c 的值。