基于卷积神经网络的短时傅里叶变换

本研究提出了一种基于卷积神经网络(CNN)的短时傅里叶变换方法，用于揭示非稳态信号的频谱随时间的变化规律。我们设计了一个卷积神经网络，采用双层结构，并随机初始化网络权重系数，不包含偏置系数。输入数据为随机生成的一维信号，其傅里叶变换作为标签数据。通过使用平方误差作为损失函数，并运用梯度下降法对网络进行训练，网络逐渐学得输入信号到其傅里叶变换的映射规则。同时，我们观察到网络权重系数在迭代过程中逐渐逼近傅里叶变换的核函数。基于学到的核函数，我们进行了信号的时频分析。数值试验结果表明，以通过训练获得的核函数作为基函数的短时傅里叶变换能取得与传统窗口傅里叶变换相一致的结果，证明了该方法的有效性。这一基于卷积神经网络的短时傅里叶变换方法为处理非稳态信号提供了一种新颖而有效的途径。

傅里叶变换将信号从时间域变换到频率域， 是信号处理和微分方程求解的重要方法[1] [2]。

离散傅里叶变换(DFT)作为一种特殊的线性变换， 以揭示信号中不同频率成分的存在和强度， 其核函数构成了范德蒙满秩矩阵[3]。尽管离散傅里叶变换运算量大，限制了其广泛应用[4]，但随着快速傅里叶变换(FFT)的引入，傅里叶变换在实际中变得更加普及，成为信号处理领域中不可或缺的工具[5]。傅里叶变换适用于分析平稳信号的频谱特征，对于非平稳信号，基于傅里叶变换的短时傅里叶变换通过加窗，分段时移对信号进行频谱分析[6]，将一维信号分解为二维时频谱，能够有效表征信号的频谱随时间的变化规律，因此成为非稳态信号处理的重要方法之一[7] [8]。

神经网络作为一种模仿生物神经网络结构和功能的数学模型，具备对函数进行近似表示的能力。典型的神经网络由多层神经元结构组成，每个神经元拥有输入和输出[9]。其自适应性学习能力使得神经网络能够根据给定的输入数据和标签数据学得输入和输出之间的关系。通过大量数据的训练，复杂的神经网络甚至能够逼近无限维空间到无限维空间的映射关系[10]。

神经网络强大的学习能力和丰富的特征表示使其在自然语言处理、图像分类和识别、目标跟踪、地震信号噪声压制和地震参数反演等领域得到了广泛应用[11] [12] [13] [14]。其在这些领域的成功运用为传统问题注入了新的发展动力。

近些年，学者们将快速傅里叶变换成功应用于卷积神经网络领域，以来提高算法的速度[15] [16] [17] [18]。

其中， 一些学者将快速傅里叶变换应用于对抗神经网络， 以加速训练过程并减轻梯度消失和爆炸的相关问题[19] [20]。

此外， 傅里叶变换还被用于近似网络中的全连接线性层， 以减小算法的复杂性[21] [22]。

傅里叶变换在深度学习中的成功运用凸显了该方法的重要性。尽管傅里叶变换在神经网络领域的应用较多[23] [24]，但以神经网络为基础对傅里叶变换进行研究相对较少。本文设计了一个双层的全连接网络， 其中不设置偏执系数，初始权重采用服从正态分布的随机数。此外，选择线性激活函数。建立网络拓扑结构后，我们随机生成一系列信号作为网络的输入数据，对这些随机信号进行快速傅里叶变换，得到相应的标签数据。利用标签数据对网络进行训练，使损失函数下降到预定的阈值。在训练过程中，网络学习输入数据到其标签数据的映射规则，从而使得该网络的权重系数逼近傅里叶变换的核函数。通过训练