时频分析方法：研究与展望

时频分析联合时间频率表示一维时间信号，是非稳态信号处理的重要工具之一。本文综述了时频分析方法的研究进展，在此基础上阐述了各种时频分析方法的原理及其优缺点。通过数值模拟试验，比较了各种时频分析方法的频谱表示特征。最后，对时频分析方法进行了展望。

时频分析研究非平稳信号频谱随时间的变化规律，该方法将一维时间信号分解到时间频率域。如何准确刻画非平稳信号的频谱变化规律一直是人们关注的问题之一[1]。近几十年来，时频分析方法有了很大的进展，并成功应用于地球物理[2] [3]、环境科学、地质学等领域。常规的时频分析方法大致可以归为线性方法和二次变换两大类。

如短时傅里叶变换[4] (Short-time Fourier Transform, STFT)、连续小波变换[5] (Continuous Wavelet Transform, CWT)和S 变换[6] (Stockwell Transform, ST)为线性时频分析方法。

Wigner-Ville 变换[7] [8] (Wigner-Ville Distribution, WVD)及其衍生的核函数光滑法[9] [10] [11]为二次时频分析方法。近些年发展起来的时频分析法主要有基追踪[12] (Basis Pursuit, BP)、Kalman 滤波方法[13]、经验模态分解[14] (Empirical Mode Decomposition, EMD)、压缩小波变换[15] (Synchrosqueezed Wavelet Transforms, SSWT)等等。

窗口傅里叶变换、连续小波变换和S 变换利用窗函数对信号截断进行频谱分析。信号的频谱为信号与核函数的线性相关，不同的方法对应不同窗函数选取法[1]。线性时频分析方法具有易于实现的优点， 但加窗会带来频谱拖尾等问题。另外，Heisenberg 不确定原理揭示了提高时间分辨率是以牺牲频域聚焦为代价的，反之亦然[16] [17]。为提高时频分析的精度，Huang 等提出了经验模态分解[14]。该方法是一种完备的、直接的、后验性的时频分析法，有很好的自适应性，但该方法会产生模态混叠现象。为了消除模态混叠现象，Torres 等提出了集合经验模态分解[18] (Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)。该方法是一种噪声辅助数据分析法，具有有效的抗混分解能力。但其分解不再完备，且计算成本高。

鉴于以上结论， Torres 等人又提出了完备集合经验模态分解[19] (Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition, CEEMD)。该方法在解决了完备性问题的同时，提高了信号的频谱分辨率，但该方法也没有完全解决模态混叠问题。

Daubechie 等提出的SWT 方法[15]与EMD 具有相近的时频分辨率， 其严格的数学证明及其可重构性的优势使其在非平稳信号领域取得了重要的应用。Auger 等指出压缩小波变换实质上是一种能量重排的时频分析方法[20]。基追踪[12]与匹配追踪[21]是将信号在字典库中进行分解，它们力图从符合信号特征的过完备原子字典中找到信号的稀疏表示。MP 是一种贪婪算法，通过寻找字典原子与信号的最大相关来确定信号分量， 通常找到的是次优解， 而不是最优解。

BP 方法通过引入l1 范数， 将信号的稀疏表示化为一类有约束的优化问题，进而转化为线性规划问题来求解。该方法由于要在所有的字典向量中极小化一个全局目标函数，其计算量仍然是很大的。短时自回归方法[22] (Short-Time Au-toregressive Method, STAR)相对于其它方法能捕获快速的幅度震荡， 但其频率分辨率易受信噪比和自回归阶数的影响，谱图中可能会出现谱峰不明显、假峰、谱线分裂的现象。Kalman 滤波方法[23]引入信号与噪声的状态空间模型，利用前一刻的估计值和现时刻的观测值来更新对现时刻状态变量的估计。这种方法的公式很简单，结果较精确，但由于算法本身的复杂性以及它对计算处理器的高质量要求，Kalman 滤波方法的应用范围并不是很广泛。