基于复西尔维斯特矩阵方程的改进双阶尺度分裂数值计算方法

连续时间的矩阵方程是矩阵方程中十分重要的一个类型，在矩形域上的椭圆边值问题的数值解法、线性统计、振动结构的共振控制、二次矩阵的特征值配置问题、受噪声影响的图像复原等问题中有重要地位。由于连续时间的矩阵方程广泛的应用背景，因此，对连续时间的Sylvester方程的数值解法的研究具有重要的理论和实际意义．改进的双步尺度分裂(MDSS)方法是研究一类大型复杂对称线性系统的一种有效方法。在本文中，我们将在双步尺度分裂(DSS)方法的基础上通过改进，得到MDSS方法，来求解复数域上的连续时间的西尔维斯特矩阵方程的近似解，证明了该迭代序列在任意初始条件的情况下都收敛于西尔维斯特矩阵方程的唯一解，并确定了其最优参数和相应的最优收敛因子。最后，给出了一个测试问题来说明该新技术的有效性。

在这里，我们重点关注西尔维斯特矩阵方程： , , , m mn nm nAXXBC ABC×××+=∈∈∈ (1) 其中必须确定矩阵m nX×∈。式(1)在控制理论和许多其他工程分支中具有非常重要的应用。矩阵方程在科学计算和工程技术等诸多领域都有着广泛的应用， 如控制论[1]、系统理论、信号处理[2]、图像恢复[3]、极点配置[4]、扰动分析、模型降阶[5]、神经网络[6]、矩阵逼近问题[7]、电力系统[8]、微分方程的数值解[9]等。因此，对连续时间的Sylvester 方程数值解法的研究具有重要的理论和实际意义。对于Sylvester矩阵方程，传统的求解方法是将这个矩阵方程用Kronecker 积转化为形如的等价线性方程组，然后再用求解线性方程组的方法去计算其数值解。然而在实际问题中，遇到的系数矩阵与规模一般都是较大的， 用Kronecker 积转化后，会使阶数也变得非常大，在很大程度上增加了工作量及计算机的储存空间，而要得到其解析式也十分困难，此时这种传统的解决方法变得不可行．近年来，国内外许多学者致力于研究线性方程组的各种求解方法， 并推广到矩阵方程的求解， 这些方法可以概括为直接法和迭代法两大类。

直接法是一种精确的求解方法，常见的直接法有Bartels-stewart 法[10]和Hessenberg-Schur 法[11]，其原理是利用正交相似变换将矩阵转化为三角矩阵或者上Hessenberg 矩阵， 然后再利用回代法求解线性方程。

当求解一些小型线性矩阵方程时，我们通常采用直接法。但对于大型稀疏Sylvester 矩阵方程，由于系数矩阵的规模非常大，直接法在求解方程时可能会产生许多非零元，将消耗大量的存储空间和计算时间， 所以对于大型稀疏矩阵，我们一般采用迭代法来求解。古典迭代法是基于矩阵分裂的迭代算法，其基本思想是将线性方程组问题转化为求解一个不动点方程的问题，进而构造迭代格式。因此，分裂法是常见