伪正交镜像滤波器组的单参数优化设计

本文提出了一个基于特征滤波器的伪正交镜像滤波器组的设计方法。在该方法中，仅仅需要调整原型滤波器的通带边缘频率就可得到伪正交镜像滤波器组。原型滤波器是通过特征滤波器法设计的，原型滤波器的系数向量是通过求解一个实对称矩阵的最小特征值对应的特征向量得到的。由于无需求解全部的特征向量，因而具有较高的计算效率。设计实例表明，采用本文方法可以获得高阻带衰减的伪正交镜像滤

M 通道多速率滤波器组(如图1 所示)在图像压缩、数字通信、雷达等很多领域都有广泛的应用[1]。

它首先用分析滤波器组( )kHz 将全带的输入信号分解成一系列不同频带的子带信号。由于带宽降低了， 因而可以进行下采样。根据特定应用，可以对这些子带信号进行适当处理。若不改变这些子带信号可以上采样，并用综合滤波器组( )kFz 重构为原信号(有延迟)。在该系统中，共有2M 个滤波器需要设计。当通道数M 较大时，很难设计数量众多的滤波器。伪正交镜像滤波器组[1]-[10]是一种特殊的滤波器组，它的分析滤波器组( )kHz 和综合滤波器组( )kFz 是通过对一个原型低通滤波器进行调制得到的。

其好处是：(1) 整个滤波器组的设计可以简化为一个原型滤波器的设计，大大降低了设计的复杂度和难度。(2) 滤波器组可以通过余弦变换快速实现。

Figure 1. M-channel multirate filter bank 图1. M 通道多速率滤波器组 Koilpillai 和Vaidyanathan 建立了伪正交镜像滤波器组的精确重构条件，给出了满足精确重构条件的格型结构[2]。通过优化格型系数可以在结构上保证滤波器组的精确重构性。但目标函数(例如滤波器的阻带衰减)往往是格型系数的高度非线性函数，阻带衰减对格型系数的变化非常敏感，很难获得具有高阻带衰减的滤波器组[3]。

然而在有些应用中， 如高保真音频信号编码中， 需要约−100 dB 的阻带衰减[5] [11]。

为了获得高阻带衰减的滤波器组，放松精确重构性，即采用近似重构的滤波器组是一个明智的方法。

Nguyen 采用有约束的最小二乘法设计了具有高阻带衰减的滤波器组[3]。

但该方法使用了非常多的优化变量，优化方法非常复杂。Doblinger 提出了一个快速设计算法，在该方法中需要迭代求解带线性约束的二次规划问题并且仍然需要大量的优化变量[4]。Creusere 和Mitra 提出了一个高效的单参数优化方法[5]。

该方法通过调整原型滤波器的通带边缘频率，用Parks-McClellan 算法迭代设计原型滤波器。但Parks-McClellan 算法计算量较大且无法兼容时域和频域约束。

本文则将原型滤波器表示为特征滤波器[12]， 通过改变原型滤波器的通带边缘频率对滤波器组进行单参数优化设计。在该方法中，原型滤波器的系数向量是通过求解一个实对称矩阵的最小特征值对应的特征向量得到的，不需要求出其它特征向量，因而