跳频压缩采样的快速重构研究

受奈奎斯特采样定理的限制，对跳频信号进行传统采集需要很高的采样率，带来高昂的处理代价，压缩采样理论突破了奈奎斯特采样定理的限制，可大幅度降低信息采样率。本文以每个跳频频点最近的连续三个原子基作为该跳频频点的稀疏表示块进行迭代，削弱了相邻跳信号频率突变引起的瞬间频率展宽和数据符号调制带来的频偏影响，使之更适合实际跳频信号场合。仿真结果验证了修正的稀疏度自适应匹配追踪算法的有效性，提高了重构算法的性能。并且本文将修正的算法在不同M值下的重构概率与原算法进行了对比。

传统的数字信号处理受奈奎斯特采样定理的约束，采样频率必须要高于模拟信号频率带宽的两倍才能无失真的恢复出原始信号， 模拟数字转换器(Analog to Digital Converter, ADC)难以满足奈奎斯特采样应达到的高要求。2006 年Donoho 等人提出了压缩采样(Compressive Sampling, CS)理论[1]，该理论下信号的采样速率可以远低于奈奎斯特采样率。

跳频通信具有很好的抗截获、抗干扰能力，广泛应用于具有安全需求的通信中[2]。目前跳频信号正朝着宽频带的方向快速发展， 传统的ADC 采样已经无法面对硬件系统和后续信号处理带来的巨大压力[3]， 而压缩采样理论在某些场合能很好地解决上述信号采样问题。本文在压缩采样重构算法研究和分析的基础上针对实际跳频信号的特点对稀疏度自适应匹配追踪算法做了修正，提高了跳频信号重构的精确度。

2. 压缩采样的基本概念 压缩采样理论表明[4]-[8]， 如果一个信号在某一个变换域内是可压缩的或稀疏的， 那么就能够用与这个变换基不相关的低维线性观测矩阵来对该信号进行压缩测量。

设( )( )()T1 , 2 , , xxx N= x代表由离散信号组成的一维列向量， [ ]T∗表示矩阵的转置。

NN×的正交向量基组{ }1Nii=ψ可以表示出任意的N 维向量： 1 Niiisψ===∑或 xxsΨ (1) 其中[]T12, , , Ns ss=s是权重系数向量， , Hiiisψψ==xx ， [ ]H∗表示矩阵的共轭转置；[]12, , , Nψ ψψ=Ψ称为基矩阵(本文采用傅里叶变换基)。s 和x 分别是原始信号在Ψ 域和时域的不同表示。

假如Ψ 基下有K 稀疏信号x ，{ }1Mjjφ= 表示M 个不同的观测向量，计算出每个观测向量和x 的内积即得到了相应的观测值 ===yxssΦΦΨΘ (2) 其中[]T12, , , Mφ φφ=Φ， =ΘΦΨ 。这里的KMN≤，在采样的过程中，M 维的观测值y 由N 维的原始信号x 压缩得到。式(2)是一个欠定方程，通过压缩采样恢复算法找到这一最稀疏解ˆs ，即可重建原始信号：