分数阶微积分理论下粘弹性矩形薄膜自由振动

薄膜振动问题一直都备受学者关注，经典的薄膜理论是建立在整数阶微积分上来刻画薄膜振动的波动方程，其在建模过程中忽略了材料记忆性的特征。本文针对粘弹性薄膜材料特征具有时间记忆性，提出了一种新的薄膜振动模型，解决了建立在整数阶微积分理论下波动方程无法准确刻画材料的时间记忆性难题。分数阶微积分模型所反映出来的性质与其整个发展史密切相关，本文基于分数阶微积分理论。将Westerlund提出的分数阶模型运用到粘弹性薄膜自由振动中，得到薄膜自由振动的分数阶波动方程。结合矩形和圆形薄膜初边界条件，建立了粘弹性薄膜自由振动的场系方程。运用分离变量法，拉普拉斯变换对矩形薄膜波动方程进行求解。结果表明：在矩形薄膜的自由振动中，体现影响时间因子的分数阶阶数α 对振型的影响非常明显。

膜结构是20 世纪后期逐渐出现的一种新结构， 其材料是重要组成部分。就目前来说对薄膜自由振动的研究不多，经典的薄膜理论是建立在整数阶微积分上来刻画薄膜振动的波动方程。整数阶导数模型所刻画出来的是某时刻的变化或某种性质。本文研究的矩形薄膜是粘弹性材料，粘弹性材料的力学性质依赖时间记忆性，整数阶微积分模型不能准确刻画材料的性质，由此便出现了一些分数阶模型来补充整数阶模型的不足之处，分数阶Kelvin-Voigt、分数阶Maxwell、分数阶Zener 和分数阶Thonson 模型[1]等。

分数阶微积分所反应出来的性质与该现象的整个发展历史有关[2]。分数阶导数的定义有两种，其一是Riemann 和Liouville [3]提出的，它是一个给定函数与幂次函数的卷积的导数。另外一个是Caputo [4]提出来的，它是一个给定函数与幂次函数的局部导数的卷积。其中后者克服了前者的强奇异性，Caputo 提出的分数阶导数更适合解决实际问题。相关学者针对分数阶做了一些研究，如Sharma 和Kumar [5]用分数阶勒让德函数对对流直翅片的分数模型进行了数值研究。

Lai 等[6]基于分数阶模型(FOM)对电动汽车锂离子电池荷电状态(SOC)和功率状态(SOP)进行理论分析。Carcione [7]将时间上的分数阶导数转化为空间上的分数阶导数，推导出时间上为二阶偏导数和空间上为Riesz 分数阶导数的常Q 波动方程。推导出了时间上为二阶偏导数和空间上为Riesz分数阶导数的常Q波动方程。

常Q波动方程可以避免对时间分数阶偏导数的计算， 减少了变量的存储，同时对于空间上的Riesz 分数阶导数，可以采用快速傅里叶变换进行计算，相比于时间上的分数阶波动方程，其计算量大为简化。国内一些学者在分数阶微积分方面有了一些成果。刘林超等[8]建立了分数阶导数模型的粘弹性桩振动方程，振动方程的数值解是用数值积分的方法求得的。通过分析表明：波速受到分数阶阶数的显著影响。骆文和[9]研究了分数阶导数模型的粘弹性土层扭转振动控制方程式，通过求解进行一系列的分析，进而发现：桩顶复刚度受土体的本构模型参数、桩土的形变模量比与桩的长径比受到分数阶阶数的显著影响。Zhu [10]等人推导了一阶速度压力–应变形式的近似常Q (NCQ)波动方程。

它是由时间上的二阶偏导数和空间上解耦的分数阶Laplace 算子表示的， 其中解耦的分数阶Laplace 算