基于预学习字典的对称ADMM在人脸去噪上的应用

字典学习算法是图像去噪的常用方法，但字典训练是一个耗时的过程，且会丢失图像中的有效信息。本文提出一种基于预学习字典的低秩算法，将图像中的干净数据和结构化噪声用对应的字典和系数矩阵表示。首先通过消融实验证明模型各部分的作用，接着对部分损坏的图像进行训练并与其他算法对比，最后将算法训练出的映射矩阵用于测试数据。结果表明PLID对于噪声的处理优于其他算法，测试数据经过映射矩阵的线性变换后也可以去除噪声。

随着机器学习和稀疏表示的重大进步，图像处理已成为一个重要的研究课题，由于受到成像设备或外界环境变化等因素的影响，图像中难免会存在不同程度的噪声。人们为了从图像中提取更多的有用信息，运用图像去噪技术来去除噪声。

字典学习是实现图像去噪的一种有效技术，但在传统的字典学习(K-SVD)中，字典训练是一个耗时的过程，稀疏表示大多通过设置固定的硬阈值来停止，导致图像中的有效内容丢失[1]。基于上述问题， 一些研究对传统的字典学习算法进行改进， 文献[2]提出了一种改进的K-SVD 算法， 用于稀疏表示去噪， 该算法具有更快的执行速度。Song 等人[3]提供了一种参数化的模糊自适应字典改编方法，嵌入了模糊集的新机制，将字典列的更新与稀疏表示的更新相结合。然而，基于K-SVD 的去噪算法仅利用图像块的内部信息进行独立的稀疏编码，而不考虑与其他块相关的信息。

数据不同的组成部分可能具有不同的结构，它们位于不同的子空间中可以单独表示[4]，因此可以根据工作的特性构造特定的字典，这样可以有效地保留原始数据之间的局部几何结构[5]。基于此类想法， Chen 等人[6]将RPCA 的稀疏项替换为预学习的语音字典和系数矩阵的乘积， 将背景噪声建模为低秩部分和残差之和， 从而实现语音增强。Xu 等人[7]基于预学习字典和自适应参数设置方法，选择平均重构质量最好的字典作为预学习字典来降低计算的复杂性，实验表明该算法的性能优于其他去噪算法。Wright 等人[8]指出人脸的干净数据可以很好地用子空间来表征，且同一类的干净数据位于同一低维子空间中。此外，结构化噪声通常对应于人脸图像[9]中的面具、眼镜等，可以用字典和对应系数的乘积来表示。

综上所述，本文提出了一种基于预学习字典的低秩算法用于人脸去噪，在算法中，干净数据和结构化噪声分别被建模为它们对应的字典和系数矩阵的乘积，并进一步描述重构误差与干净数据的联系，然后利用对称ADMM 对所提的算法进行求解，最后，在AR 数据集上验证所提算法的有效性。

2. 相关理论与方法 2.1. RPCA RPCA [10]旨在从损坏的观测矩阵X 中恢复低秩矩阵L，其数学模型为： ( )0, mins.t.

L S rank LSXLSλ+=+ (2.1) 其中， ( )rank L 为矩阵的秩， 0S表示矩阵S 中非零元素的个数。问题(2.1)是一个NP-难问题，在实际应