粘弹性材料下纳米弦的振动

本文给出了一个具有Caputo时间分数阶导数的纳米弦振动的波动方程在不同边界条件下的解析解。根据Mittag-Leffler函数和Sturm-Liouville问题的一组完整的本征函数，采用分离变量法、拉普拉斯变换法，得到在初始条件、边界条件以及外力条件特殊情况下的一些结果，表明整数阶方程的相应解是时间分数阶方程的特殊情况，且该方程可用于描述复杂介质或粘弹性介质中的记忆特性。

近些年来随着材料科学的不断发展，涌现出许多具有粘弹性性质的材料。针对粘弹性材料而言，粘弹性材料的高阻尼性与高耗能性，利用整数阶模型无法很好地描述粘弹性材料。对大部分情况而言，整数阶模型以及分数阶模型均可用于描述材料的力学特性，相较于经典的整数阶模型，分数阶模型有着很强的应用性与优越性。这是由于分数阶模型可以利用少量的参数变量阐述粘弹性材料的一些力学特征， 从而可以更好地体现出真实化的粘弹性介质的力学特点。整体而言，整数阶微积分理论是研究的基础理论，分数阶微积分理论是基于整数阶微积分理论推导出来的。在不同研究背景下，分数阶模型可以退化为整数阶模型，也可以推广得到更加广义的模型，因而分数阶模型是一个十分重要的模型。

振动现象无处不在，会对现实社会的生产生活带来一定的影响。振动现象的影响存在两面性，我们可以对振动现象的有利影响进行利用。研究一些机械系统的振动可以使我们了解它们的特性，规避它们的缺点，提升它们的工作效率，因此研究一些材料的振动是非常重要的。

随着越来越多的粘弹性材料被应用到不同的研究领域中，人们对粘弹性材料的力学特性也越来越关注。粘弹性材料既含有弹性性质又含有粘性性质，由于粘弹性材料的这种特性，无法利用单一的弹性或粘性关系来很好地描述其力学性质。粘弹性介质在波的振动传播过程中，由于介质具有粘性一定程度上会消耗动能，达到缓冲减震的效果，利用传统的整数阶微分波动方程[1]来进行波场模拟，不能很好地解释这些现象。因此，越来越多的研究学者采用分数阶的微分波动方程进行模拟。随着分数阶导数理论不断完善，更简洁更高效的求解方法也不断增加，分数阶导数理论被应用在很多工程领域中，因此越来越重视利用分数阶导数形式描述粘弹性材料的波动方程。这不仅是对经典力学的理论补充，而且推动了粘弹性表面力学的发展。

分数阶微积分理论及其应用已经成为科研工作者关注的热点。

Gemant [2]提出利用分数阶理论进一步阐述分数阶微分算子在部分粘弹性流体材料中的必要性与重要性。Stiassnie [3]利用分数阶微积分的理论知识推导粘弹性材料的本构模型，研究结果表明相应模型的性能与实验结果拟合程度较好。Bagley 和Torvik [4]基于一种五参数双分数阶模型去描述粘弹性材料的物理性特征，并在此基础上进一步推导得出粘弹性阻尼结构运动方程。Carcione 等人[5] [6]基于广义Zener 模型的线性粘弹性理论，利用频谱松弛的机制来描述本构关系，通过引入记忆变量表示松弛过程，建立了线性粘弹性介质的波动方程，并对粘弹性介质波场特征进行了分析。孙成禹等[7] [8]基于常Q 理论推导构建在粘弹性介质中的分数阶黏声波与粘弹性波动方程，利用优化交错网络有限差分法，对不同模型下进行正演模拟和偏移模拟。闰启方[9]等人对分数阶Kelvin 模型描述的粘弹性材料的松弛特性、蠕变特性和动态力学行为进行了研究。李想[10]等人详细介绍了几种处理粘弹性波传播问题的分析方法，重点讲解Laplacc 变换法以及Laplacc 变换在粘弹性波中的应用。

袁宇彤[11]等人研究了粘弹性地基上薄板的波动和振动问题， 讨论了基于分数导数理论的粘弹性地基模型上薄板弯曲波的传播特性以及固有频率对地基的依赖特性。