二维Caputo型时间分数阶热传导方程非齐次初边值问题的研究

本文基于Povstenko型分数阶热弹性理论推导出Caputo型时间分数阶热传导方程，应用分离变量法和Laplace变换法，求解了二维有热源项的时间分数阶热传导方程的非齐次初边值问题，并给出详细的求解过程。最后通过具体的算例，分析了分数阶阶数α 在不同的初边值条件下对于热传导过程的影响。

随着分数阶微积分应用范围的增加，很多的专家学者渐渐地加入了分数阶微分方程理论与应用的研究中，无论对哪一方面，分数阶微分方程的求解都有重要意义，并且相较于数值解而言，方程的精确解能够全局地反映参数变化时系统的动力学性质的变化。因此，对于分数阶微分方程的精确解和求解方法的研究就变得十分重要。

随着社会技术的快速发展，人们提出了许多有效的关于分数阶微分方程的求解方法，例如分离变量法、格林函数法[1]、Adomian 分解法[2]、同伦分析法[3]以及积分变换法等。Wyss [4]在1986 年研究了时间分数阶扩散方程，使用Mellin 变换得到了含有Fox 函数形式的解析解。2000 年Gorenfo [5]在求解时间分数阶扩散–波动方程的过程中，通过Laplace 变换得到了含有Wright 函数形式的尺度不变解。Agrawal [6]应用分离变量方法求给出了Caputo 型分数阶扩散方程在齐次Dirichlet 边界条件下的Mittag-Leffler 函数形式解析解。Huang 和Liu [7]将时间–空间分数阶扩散方程延伸到时间–空间分数阶对流弥散方程， 再通过积分变换法得到了该方程的解析解。2012 年，Atanacković [8]基于时空Cattaneo 热传导定律，推导出Caputo 型空间分数阶热传导方程，并利用Laplace 变换和Fourier 变换得到了解的显式形式。2015年，Meilanov [9]给出了具有扩散和对流传热机制的分数阶热传导方程的解，并研究探讨了分数阶导数对温度分布随时间和坐标变化的影响。2019 年，Siedlecka [10]对时间变量采用Laplace 变换法，对空间变量使用特征函数级数展开法，求出了有限区域内Caputo 时间分数阶单相滞后热传导问题的解析解。何松林[11]等人利用Laplace 变换法求解出分数阶振子自由振动方程的含有Mittag-Leffler 函数形式的解析解， 并以此来研究和分析分数振子的运动规律和性质。2021 年，Sylvain [12]使用经典积分变换法求解出了稳态分数阶平流扩散方程的解析解，并据此来模拟空气污染物在有限介质中的扩散。

近些年来，人们发现使用了一些很特殊的材料如黏弹性材料、软物质材料、多孔材料等，而这些材料的热弹性行为与经典的热传导理论不同， 所产生的反常传导、反常扩散需要用分数阶微分方程来描述。

近些年来，学者们在经典的热弹性理论的基础上，将分数阶微分算子引入热传导、热弹性力学、黏弹性力学中进行修正，随后，不同类型的分数阶热弹性理论相继问世，如Povstenko [13] [14]型分数阶热弹性理论、Youssef [15]型分数阶热弹性理论以及Ezzat [16]型分数阶热弹性理论。因此，在这些分数阶热弹性理论的基础上， 如何求解分数阶热传导方程就成为一个重要的研究课题。

本文基于Povstenko 型分数阶热弹性理论，给出了Caputo 型时间分数阶热传导方程具体的求解过程。