抽样定理的若干基本问题的讨论

抽样定理是《通信原理》课程中的重点和难点，抽样定理在连续时间信号与离散时间信号之间架起了一

抽样定理是《通信原理》课程的重要知识点[1]，在模拟信号的数字传输中讲解，国内外教材中均对其详细论述[2] [3]。但是对本科生来说，这个知识点不易理解透彻，更难获得正确应用。

抽样定理描述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原连续时间信号。随着数字化技术的不断发展， 抽样定理为连续信号离散化， 进而数字化提供了理论基础， 广泛地应用于通信、控制和信号处理等领域。如激光对潜通信结合了光纤通信与微波通信的优点，其原理是将语音信号调制到激光光波上，经介质(海水)传输到潜艇，再经潜艇接收端解调，还原成语音信号完成通信；利用带通抽样定理能够以较低的抽样频率解决高频信号的混频问题。

本文介绍了抽样定理及信号恢复理论，以及信号重建的条件，并分别按普通周期信号、单一频率的正弦信号和实际采样信号对抽样定理的适应性进行了详尽的阐述讨论。

以具有实用性的PAM 对抽样定理验证，并分析了抽样频率对信号恢复的影响。

2. 信号的抽样及其讨论 模拟信号通常是在时间上连续的信号。

在一系列离散点上， 对这种信号抽取样值称为抽样。

理论上， 抽样过程可以看作是用周期性单位冲激脉冲(impulse)和此模拟信号相乘，得到一系列周期性冲激脉冲。

显然，抽样所取得离散冲激脉冲和原始连续模拟信号形状不一样。可以证明，对一个带宽有限的连续模拟信号进行抽样时，若抽样速率足够大，则这些抽样值就能完全代表原模拟信号，并且能够由这些取值准确恢复出原始模拟信号波形。因此，不一定要传输模拟信号本身，可以只传输这些离散抽样值，接收端就能恢复原模拟信号。抽样定理就是描述这一抽样速率条件的定理。

2.1. 低通型信号的抽样定理 由于数字信号处理具有方便、灵活等优点，使它在通信、控制和信号处理等领域应用广泛。为了要用处理离散信号的方法对连续时间信号进行处理，需要对连续时间信号进行抽样。

抽样定理指出：设一个连续模拟信号m(t)中的最高频率小于fH，则以间隔时间为T ≤ 1/2fH 的周期性冲激脉冲对它抽样时， m(t)将被这些抽样值完全确定。由于抽样时间间隔相等， 所以此定理又称均匀抽样定理。

下面给出理论分析： 设有一个最高频率小于fH 的信号m(t)，如图1(a)所示。将这个信号和周期性单位冲激脉冲δT(t)(如图1(c))相乘。其重复周期为T，重复频率为fs = 1/T。乘积就是抽样信号，它是一系列间隔为T 秒的强度不等的冲激脉冲，如图1(e)。这些冲激脉冲的强度等于相应时刻上信号的抽样值。

现用( )()smtm kT= ∑表示此抽样信号序列，故有