基于改进的近似l0范数的稀疏信号重构算法

稀疏信号重构算法是压缩感知的关键。基于近似l0范数的稀疏信号重构可以通过选取一个光滑函数近似l0范数，从而将l0范数最小化问题转化为光滑函数的优化问题。为了提高压缩感知中稀疏信号重构的精度，本文提出了一种基于改进的近似l0范数的稀疏信号重构算法。该算法首先利用一种改进的光滑函数来近似l0范数；其次利用外点罚函数法和共轭梯度法求解基于该光滑函数的优化问题的稀疏解；最后进行了多项实验来验证所提出算法的有效性。实验结果表明：相比于光滑l0算法、基追踪算法和非凸复合稀疏基算法，本文所提算法在重构误差、信噪比和恢复成功率等方面更具优越性。

传统的数据采集需要满足奈奎斯特采样定理，即为了不失真的恢复信号，采样频率必须大于信号最高带宽的两倍。但在这一理论指导下所获得的信息是冗余的，极大的影响了信息领域的发展。压缩感知(Compressive Sensing, CS) [1]是一种新型的信号采集与重构理论， 它可通过远低于奈奎斯特标准的方式进行数据采样，并仍能够精确地恢复稀疏信号。该理论提出后，在阵列信号处理[2]、医学影像[3]和雷达探测[4]等领域受到高度关注，展现出了巨大的应用价值。压缩感知理论主要包括三部分：信号的稀疏表示、测量矩阵的设计和稀疏信号重构。其中，稀疏信号重构是指从较少的测量值中精确地恢复原始信号，是CS 理论中最重要的一部分。信号的重构精度主要取决于重构算法的性能，设计高效的重构算法是提高稀疏信号重构精度的关键。因此，稀疏信号重构算法具有重要的研究意义。

从数学的角度来看，通常使用以下最小化方法对稀疏信号重构问题进行建模[5]： 0Rmins.t.

nxxAxb∈= (1) 其中()Rm nAmn×∈<是感知矩阵， Rmb∈是测量向量， Rnx ∈是未知的稀疏向量， 0x是实向量x的零范数。

然而，由于l0范数的不连续性，使得基于l0范数的重构模型的直接求解是NP (Non-deterministic Poly-nomial)难的[6]，其计算量会随稀疏向量维数的增加而增大，且模型的抗噪能力较差。为此学者们提出了很多方法对最小化l0范数进行近似求解，如贪婪方法、凸松弛方法和非凸松弛方法等。贪婪算法通过选择与信号重构残差最匹配的原子进行信号重构，传统的贪婪算法有正交匹配追踪算法[7]、广义正交匹配追踪算法[8]和子空间追踪算法[9]等，这类算法重构理论简单、计算速度较快，但重构精度较低，需要更多观测值。凸松弛方法将最小化l0范数转化为最小化l1范数，其中典型的算法有基追踪算法[10]、迭代阈值算法[11]和梯度投影法[12]等，这类算法重构精度较高、所需测量值较少，但计算复杂度较高，不适合求解大规模问题。因此这两类算法应用范围有限。

近年来，利用非凸松弛方法近似求解l0 范数受到了广泛关注。常见的非凸松弛方法使用lp 范数、高斯类函数或分式类函数近似l0 范数， 其中高斯类函数是一种最常见的近似函数。

最早Mohimani 等人提出