各向异性张量加权分数阶变分图像去噪模型

为了增强去噪后图像的边缘和保留图像纹理，本文提出了一种新的各向异性张量加权分数阶变分图像去噪模型，即利用分数阶的Jacobian矩阵形式与一个各向异性张量的乘积的Frobenius范数，作为本文模型的正则化子，其包含图像在每个像素点的局部邻域变化的信息，根据图像结构灵活地控制和定向去除噪声，增强图像的边缘和保留纹理细节信息。本文采用交替方向乘子(ADMM)法进行数值求解，所有的子问题都具有闭形解。数值实验表明，该模型复原的图像有效地保留图像的边缘和纹理等细节特征，抑制阶梯效应，与其他模型相比更具有竞争力。

图像去噪在医学成像、卫星成像及模式识别等领域中具有重要意义。在图像去噪的开创性工作中， Perona 和Malik [1]提出了一种非线性扩散的偏微分方程用于图像去噪，复原的图像有效保留图像的线条和结构，但沿图像的线条和边缘保留了噪声。于是Weickert [2]提出一种基于张量的图像扩散方程，基于张量扩散的原理：对平行于图像结构的区域进行平滑处理，利用一个张量场来描述局部方向，使图像平滑并与图像结构平行，利用非线性扩散函数对张量场进行变换，将变换后的张量场用于扩散方程，得到的张量为扩散张量。扩散张量包含了图像在每个点的局部邻域变化的信息，可以根据图像结构更灵活地控制和定向去除图像结构的线条和边缘处噪声，因此，受到学者的广泛认可。

由于沿张量的两个特征向量的方向，具有不同的传导系数，故张量扩散也被称为“各向异性张量扩散”。

在图像处理的应用中受到广泛关注。

2010 年， Grasmair 和Lenzen [3] [4]提出各向异性全变分模型， 将扩散方程与变分法相结合，用一个各向异性项来替代各向同性TV 半范数作为模型的正则化子，复原的图像在抑制块伪影产生的同时降低阶梯效应。2013 年，Roussous 和Maragos [5]提出由张量全变分和Beltrami 泛函的推广导出了基于张量的图像扩散，基于结构张量来描述每个点的邻域内图像结构的几何形状，通过在包含图像块的高维空间中用嵌入表示图像来推广Beltrami 函数，该模型中的扩散能有效地控制扩散方向，从而保留图像的边缘和结构。2015 年，Freddie 等[6] [7]人提出了一种基于张量的变分公式用于彩色图像去噪，引入了一个基于张量的函数—梯度能量全变分，作为新的正则化子，其复原的图像具有更清晰的边缘。

然而， 上述已有的基于变分法和各向异性扩散相结合的模型仅考虑了全变分[8] [9] [10]模型。

但是全变分模型倾向于分段常数解， 在平滑区域存在阶梯效应， 且不能有效复原图像纹理细节信息。2007 年，Bai J 等[11]提出分数阶去噪模型，该模型通过定义图像强度函数的分数阶导数绝对值的递增函数为损失函数，再采用折叠算法来消除跨越边界的跳跃不连续，有效保留图像的纹理细节信息， 抑制阶梯效应。

基于此，本文提出了一种各向异性张量加权分数阶变分模型(Tensor Weighted Fractional-order Varia-tion, TWFO)，利用分数阶的Jacobian 矩阵形式和一个各向异性张量的乘积的Frobenius 范数，提出了一种新的正则化子，使分数阶变分成为一个有效集成方向信息的非线性各向异性分数阶模型。我们利用高斯核来定义输入图像的每一个像素点的结构张量，求出其特征向量，再根据图像去噪的要求，利用文献