基于低秩高阶张量逼近的图像视频恢复

图像视频恢复是计算机视觉中一项基本但关键的任务，近年来得到了广泛的研究。然而，现有的方法存在着不可避免的缺点：有些需要预定义秩，有些则无法处理高阶数据。为了克服这些缺点，本文利用图像视频数据通常具有的低秩性，采用低秩高阶张量逼近方法实现在混合噪音的环境下的彩色视频恢复。首先，本文建立了一个高阶张量代数框架。基于该框架，通过设计近端算子，提出了一种新的低秩高阶张量逼近(LRHA)方法，旨在从被高度污染的阶张量数据中恢复出潜在的低秩部分，从而完成图像视频恢复任务。设计了相应的算法，并且针对多项图像视频恢复任务的实验结果表明，LRHA方法在处理相应问题方面具有优越性。

随着数据科学和计算机硬件能力的发展，人们处理大数据量的高维张量成为可能。张量是多维数据建模的强大工具，如彩色图像、视频、高光谱图像等。以图像和视频数据为代表的高阶张量数据在传输过程中，数据会不可避免地受到各种噪声环境的影响，例如：椒盐噪声、高斯噪声、泊松噪声等，从被污染的图像视频中恢复干净数据成为图像视频处理的一个基本和必要的步骤。通常的恢复处理过程利用了数据固有的先验特征，如低秩性、稀疏性和局部相似性[1] [2] [3]。其中基于低秩的方法，例如低秩矩阵逼近(LRMA)和低秩张量逼近(LRTA) [4] [5]，近年已经得到广泛的研究。

主成分分析(PCA)方法是处理恢复问题的一种基本的低秩矩阵逼近方法，为了提高PCA 模型的鲁棒性， Candes 提出了鲁棒主成分分析(RPCA)方法[6]。然而，低秩矩阵逼近的主要问题是仅限于处理矩阵数据，无法恢复或者要经过特殊处理才能恢复张量数据。将基于矩阵的方法拓展为3 阶的张量情况需要能够处理张量的基本数学工具，这里与矩阵的情况不同，张量秩的定义到目前为止不是唯一的。至今，研究人员已经给出了多种张量秩定义以及对应的凸松弛。其中，CP 秩[7]依赖于CP 分解，它的值是张量分解后秩一张量的具体数目。

然而， CP 秩的精确计算已被证明是NP-hard。

Tucker 秩[8]受到更广泛的应用， 并且Liu 等提出了SNN 方法作为Tucker 秩的凸替代， 但是SNN 仍然不是Tucker 秩的紧凸替代。

除此之外，还有其他的张量秩定义，比如张量环秩、张量链秩等，可以参考文献[9] [10] [11]。特别的，Kilmer等[12]将张量作为一个整体来研究张量的奇异值分解(t-SVD)。在此基础上，Lu 等[13]提出了张量主成分分析(TRPCA)方法使得我们可以在特定的条件下从观察到的三阶张量123nnn××∈中恢复低秩部分和稀疏部分。TRPCA 和这一类的基于核范数的低秩张量逼近方法[14] [15] [16]能在保持数据结构完整的前提下有效地解决实际问题。

虽然这些方法普遍取得了良好的成果，但仍有两个主要挑战：1) 一些现有的低秩逼近方法可能需要预先定义秩的值；2) 这些方法主要处理矩阵和3 阶张量数据，虽然一些低秩张量逼近方法可以通过重塑数据来处理高阶数据， 但是这种处理会破坏数据的全局空间结构。

鉴于上述缺点， 本文利用[17]中提出的启发式的处理高阶张量的循环思想， 设计了高阶张量的代数框架和相应的高阶张量SVD 分解方法。

同时，