紧支撑帕塞瓦尔小波框架的分解与重构

本文构造出性质良好的紧支撑帕塞瓦尔小波框架。利用小波框架及其相关尺度函数的数量关系式，在多分辨率分析思想下以小波框架为基础定义一般的空间序列，得到紧支撑帕塞瓦尔小波框架的分解与重构定理，进而得出信号分解与重构的框图，并对算法进行总结。实验结果表明，与Haar小波函数的分解重构算法相比，本文算法具有更好的性能。

信号处理是现代科学技术中重要一环，是许多应用的一个基础性工作。对于相对平稳的信号，一般利用傅里叶变换进行处理，而非平稳信号大多数使用小波分析。由于小波函数具有较好的时间和频率的局部特性，小波的分解与重构在信号处理与图像处理中的应用十分广泛。近年来，研究并构造性质良好的紧支撑小波框架已经越来越成为人们关注的焦点。紧小波不仅更容易构造，而且也可以像正交小波一样易于计算和应用。

在一维并具有二进扩张中构造了具有任意阶的消失矩和任意正则度的紧支撑小波[1]。在二维中Ron和Shen 构造了紧支撑的紧仿射框架，还描述了在任意d 维和任意扩张矩阵中构造紧支撑紧仿射框架算法[2]。在()22L中构造了与任意扩张矩阵相关联的具有任意正则度的紧支撑小波框架。在这些构造中， 生成器的数量随着正则度的增加而增加[3]。Han [4]的论文提供了与一般扩张矩阵相关的紧小波框架的存在性的证明，框架的生成器具有任意给定的正则度、任意固定的消失矩阶数和固定数目的生成器，而且生成器的数量也有限制。[5]中构造形成了与扩张矩阵, 1d dARd×∈≥相关的()22L中的一族紧支撑帕塞瓦尔小波框架，其中生成器是紧支撑的，有任意想要的消失矩的阶数，也可以给定任意的正则性，而且生成器的数量不超过det Ad+个。这一族紧支撑帕塞瓦尔小波框架较于正交小波更易于构造、性质更好，计算和应用同样有优势。构造时简单高效，在性质上也有很大优势：不仅有确定的消失矩的阶数，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，利于消除噪声，尤其是在分析突变信号时能更有效地检测出奇异点；而且还能设定确定的正则性，使得信号或图像的重构中获得较好的平滑性，减少量化或舍入误差的视觉影响。因此本文在文献[5]的基础上，研究具体的一类小波框架的分解与重构算法。

本文其余部分结构安排如下：在第二节中，介绍了紧支撑帕塞瓦尔小波框架的定义及相关定理、多分辨率分析，还有具体扩张矩阵相关的()22L上紧支撑帕塞瓦尔小波框架的由来。在第三节中，推导出了本文所提出的紧支撑帕塞瓦尔小波框架相关的信号分解与重构问题。在第四节中，给出了紧支撑帕塞瓦尔小波框架的分解与重构算法。在第五节中，给出了实验结果分析。在第六节中，给出了结论。

2. 准备工作 2.1. 紧支撑帕塞瓦尔小波框架的定义及相关定理 首先给出紧支撑帕塞瓦尔小波框架的定义及相关定理。

定义2.1. [5]设{ }1nnφ∞= 是可分希尔伯特空间H 中元素的序列，如果存在常数12, 0C C >，使得222121, , nnC hhChhHφ∞=≤≤∀∈∑，则称序列{ }1nnφ∞= 为H 中的一个框架。常数1C 和2C 称为框架界。若12CC=，那么{ }1nnφ∞= 为紧框架。

定义2.2. [5]在()22L中，若一个框架为( ){}, , ;, ,1dl j k xjklNψ∈∈≤≤，其中