一类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性

本文研究了一类带有p-Laplacian 算子的分数阶微分方程边值问题的正解的存在性，利用Leray-Schauder非线性抉择，得出边值问题至少存在一个正解的充分条件，并给出了一个具体的例子。

分数阶微积分是在整数阶微积分的理论基础上发展而来， 近年来分数阶微分方程在物理学、工程学、机械、医学、生物学等许多领域得到了广泛应用[1] [2] [3] [4]。为了解决越来越多复杂的现象和问题，学者和专家开始研究带p-Laplacian 算子的分数阶微分方程。文[5]研究如下带p-Laplacian 算子的分数阶微分方程 ()()( )( )()( )( )( )( )0000, 0,01, 00, 110, 00, pDD utf t u ttuuD uD uβαγαϕσ+++++=< <=+== 这里00, DDαβ++ 和0Dγ+ 是标准的Riemann-Liouville 型分数阶导数，12α<≤，01β<≤，01γ<≤， 10αγ−−≥，常数σ 是一个正数， ( )2 , 1pp sss pϕ−=> 。利用锥上的不动点定理，获得了正解的一些存在性和多重性结果。

文[6]研究如下带有p-Laplacian 算子的Riemann-Liouville 型分数阶微分方程边值问题 ( )()()( )()( )( )( )( ), 0,01, 00, 1, 00, pDD u tf t u ttuuD uD uαβγβϕλξ+=< <=== 应用凸锥上的不动点理获得了该问题正解的存在性结果。这里, , α β γ ∈，01α<< ，12β<≤， 12βγ−=， 102ξ<≤， [)0, λ ∈+∞， ( )()1 212ββλβ ξ−+Γ< Γ， ( )2 , 1pp sss pϕ−=> 。

基于上述文献中的研究，本文主要利用Leray-Schauder 非线性抉择讨论如下带有p-Laplacian 算子的Riemann-Liouville 型分数阶微分方程边值问题 ( )()()( )( )()[]( )( )( )000, , 0, 0,1 , 0100, p D u tf t u tD u ttuuD uαααφ+++′ +=∈=== (1) 解的存在性，其中12α<≤， ( )2pp sssφ−=。

1q >， 1pqφφ−=，111pq+= 。

2. 预备知识 定义1 [7]函数(): 0, yR+∞→的0α >阶Riemann-Liouville 分数阶积分为 ( )( )()( )1001d , tIy ttsy ssααα+−=−Γ∫ 等式的右端在()0,+∞有定义，其中( )Γ ⋅为Gamma 函数。