基于SVD方法设计几何变形可控的金字塔变换

：本文设计了一种具有平移不变性、方向和尺度联合可控特性的金字塔变换，称为几何变形可控金字塔变换(DPT)。此DPT 从一种数值形式表示的方向可控金字塔变换(SPT)发展而来。我们以SPT 的每一个方向可控基滤波器作为核函数，并通过奇异值分解(SVD)设计针对该方向的尺度可控基滤波器和插值函数。我们以此尺度可控基滤波器作为DPT 的分析滤波器，进而在理想重构约束下通过理论推导得到DPT 的综合滤波器。另外，我们还通过理论推导获得了实现方向可控特性的插值函数，并通过定量表达式分析了采用不同数量的尺度可控基滤波器时对DPT 重构性能的影响。数值仿真表明，本文设计的尺度可控基滤波器能满足理想重构约束，且能在误差不超过1 dB 的情况下以一半数量的尺度可控基滤波器逼近最优重构性能。

自从上世纪八十年代小波(wavelet)问世以来，由于其良好的时频局部性，得到了广泛深入的研究[1]。

尽管小波基函数是由核函数的平移和缩放得到的，它们却对平移非常敏感[2]。

为解决这个问题，很多研究人员提出了传统小波的变种。如文献[3]中，Freeman 和Adelson 首次基于高斯核函数的n 阶偏导数构造了方向可控(steerable)滤波器。利用这些滤波器，通过简单的线性插值便可得到任意方向的滤波器，使得信号旋转前后生成的滤波器响应系数间能构成简单的线性关系，从而解决了传统小波对几何操作敏感的问题。

Freeman 和Adelson将这种特性称为方向可控特性(steerability)。

他们还进一步研究了方向可控特性的充分必要条件，并展示了它们的具体应用。

方向可控滤波器在文献[4]和[5]进行了理论分析和证明。

随后， Perona 构造了尺度可控(scalable)滤波器[6]， 用于生成一定尺度范围内的任意滤波器。类似于方向可控特性，他将此称为尺度可控特性(scalability)。此外，Perona 还将方向可控和尺度可控特性结合起来， 提出了几何变形可控(deformable)滤波器， 以通过线性插值生成任意方向和某一给定范围内任意尺度的滤波器。

文献[2]中，Simoncelli 等人构造了更为一般化的几何变形可控滤波器。他们首先展示了传统小波变换对平移的敏感性， 然后提出了位移可控(shiftable)的滤波器，使得通过线性插值能获得任意平移位置的滤波器。他们将此特性命名为位移可控特性(shiftability)。

类似地，他们发展了方向可控和尺度可控滤波器，以解决传统小波对旋转和缩放敏感的问题。对于这些位移、方向和尺度可控特性，他们统一用“shiftability”来表征。为便于区别引用，本文称为几何可控特性。

其中，在方向和尺度上的几何可控特性分别等同于文献[3]和[6]中提出的方向可控特性和尺度可控特性。

Simoncelli 等人进一步指出，除了可以在位移、方向和尺度方面独立地获得几何可控特性外，还可以在这三个方面的部分组合(如位移和方向)中同时获得可控特性，即获得联合可控特性。为对这些概念和理论进行示例，他们设计了一种具有平移不变性和方向可控的金字塔变换(steerable pyramid transform, SPT)。

除了上述介绍的概念和理论外，尚有为数不少的研究人员致力于几何可控滤波器的具体设计与实现。

文献[7]中，Karasaridis 和Simoncelli 首先分析了理想重构和方向可控约束下SPT 所需满足的条件， 然后基于这些约束用数值优化方法设计了一类具有平移不变性和方向可控特性的SPT。此外，文献[8-12]根据各自的实际应用需求设计了不同的SPT。文献[13-16]则对几何可变形滤波器的优化设计与实施展开了大量的研究。

由于方向可控、尺度可控、几何可控滤波器的良好几何特性，使得它们得到了广泛的应用。如根据文献[3,6,10,12,13]，方向可控滤波器可用于局部方向分析、角度自适应滤波、轮廓检测、基本视觉结构特征(如特征点、线、边缘、纹理等)的提取。此外，文献[2]利用SPT 进行三维视觉匹配、图像增强等。

除此之外，SPT 还被应用于鲁棒数字水印领域以抵抗旋转攻击， 如文献[17]所示。

尽管文献[17]能鲁棒地抵抗几何攻击，但它采用的SPT 不具备尺度可控特性，因此无法抵抗缩放攻击。

旋转和缩放攻击是鲁棒数字水印的常见攻击，而且如何鲁棒地抵抗包括旋转、缩放、平移等在内的几何攻击仍然是鲁棒数字水印领域具有挑战性的问题之一。而若要同时抵抗旋转和缩放攻击，则所采用的可控金字塔变换必须同时具备方向和尺度可控特性， 且需同时具备分析和综合滤波器。根据上面的文献简述可知，方向可控滤波器只具备方向可控性，但不具备尺度可控性。虽然文献[6,13-16]中设计的几何变形可控滤波器同时具备方向和尺度可控性，但它们并不没有综合滤波器，因此不适合用于鲁棒数字水印等需要综合滤波器的场合。据我们对文献尽可能多的了解和掌握，在相关文献中并没有同时具备方向和尺度可控性的金字塔变换。出于抵抗鲁棒数字水印中旋转和缩放攻击的目的，我们设计同时具备方向和尺度可控性的金字塔变换，即为几何变形可控金字塔变换(deformable pyramid transform, DPT)。

虽然我们的出发点是着力于解决鲁棒数字水印中的旋转和缩放攻击， 但所设计的DPT 将同样适用于图像去噪、图像增强等领域中。

如前所述， 文献[7]中设计的SPT 具备平移不变性和方向可控性。受此启发，我们以该SPT 作为DPT