分组密码随机序列的不变量研究

对于分组密码而言，密码的安全性来自混淆、扩散性，而两者主要来自分组密码的轮函数操作。为满足加密算法标准化、加密算法本土化及各方的需求，本文使用图论的相关知识，利用最新向量逻辑——变值体系来对分组密码安全性进行研究。文章通过获取分组密码的中间随机序列，分析随机序列的特征，得到随机序列的不变量，进一步对不变量进行统计分析研究，研究方向为通过控制变量法，观察对比不变量统计可视化结果，探索不变量特征；对于同一分组密码而言，改变不变量数据量，得出同一密码不变量具有饱和态的特性的结论，为分组密码的安全性提供进一步的理论依据。

1.1. 分组密码简介 分组密码学的研究主要包含两部分，一是分组密码编码学，二是分组密码分析学。前者是研究如何设计安全的加密算法和密钥生成算法。后者是研究如何利用算法的特征来推导出特定的明文或者特定的密钥[1]。

分组密码的数学模型是将明文消息编码表示后的数字(简称明文数字)序列，划分成长度为n 的组(可看成长度为n 的矢量)，每组分别在密钥的控制下变换成等长的输出数字(简称密文数字)序列。密码安全性来自混淆、扩散性，而两者主要来自分组密码的轮函数操作。不同分组密码使用不同轮函数，不同分组密码轮函数产生的中间序列具有不同特征。

1.2. 不变量理论 数学不变性是理解和发展新的科学理论和技术的关键。大多数科学理论依靠群体行为和转换的不变性质来描述我们所生活的世界的规则。相对论和量子力学等理论都依赖于不变性性质来构建它们的结构[2]。

希尔伯特在1893 年发表的一篇很有影响的论文《论不变量的完全系》中，发展出了解决不变量理论问题的新方法。他强调，这一方法根本上不同于他的前辈们的方法，因为他把代数不变量理论当作代数函数域的一般理论的组成部分来处理[3]。

数学中的一个主要风险是，数学理论主要在句法层面上运作，它们可能本质上是处理一个空集。除非目的是通过证明集合为空来证明安全性。目前关于对称密码中多项式不变量应用的研究缺乏实质或材料，无法以现实生活中有效的实例的形式工作。许多结果都是关于密码组件，而不是完整密码。例如， 对于类似AES 的S 盒， 我们可以使用所谓的交叉比(在更一般的非线性ø 情况下， 它已经是一个不变量， 在数学中很少研究)。然而，这种类型的不变量仍然非常简单，或者我们只使用一个变量[4]。

1.3. 研究目的 分组密码备受关注，是密码学研究的热点课题之一。目前，已有大量的文献对各种分组密码的安全性进行讨论研究。为满足加密算法标准化、加密算法本土化及各方的需求，本文使用图论的相关知识， 利用最新向量逻辑——变值体系[5]来对分组密码安全性进行研究。