基于偏微分方程的图像修复数值模型

图像修复是图像处理的一个分支，是利用周围区域的信息填充图像的缺失或损坏区域。本文为今后能够更好地对破损图像进行修复与技术处理，进而针对图像修复中常见的边缘问题总结了几类基于偏微分方程进行图像修复的数值模型，这几种数值模型能够在保证修复效果较好且稳定的同时减少计算量，并提高修复效率，进一步完善修复效果，能够更好地为图像修复发展研究提供理论与数值模型基础。

图像修复技术是当前图像处理和计算机视觉研究的热点之一，在实际生活和科学研究中有着十分重要的应用。比如被广泛应用于文物修复、图像或视频后期处理中，在计算机、天文学、生物学等方面也都有很高的应用价值[1] [2] [3]。图像修复实际是根据图像受损区域周围收集到的信息来填充图像的缺失部分。

近年来，图像修复技术的应用范围十分广泛，发展也十分迅速。许多学者对图像修复及其数值模型进行了研究。长久以来发展和优化了一系列用于图像修复的数值方法。包括基于纹理的图像修复算法[4]以及非纹理图像修复技术即基于偏微分方程(partial differential equation, PDE)的修复算法[5]， 全变分(Total Variation, TV)修复算法[6]， 快速图像修复算法[7]， 凸分裂[8]以及应用于二值图像修复的改进Cahn-Hilliard [9]模型等， 对于图像修复处理都有大量研究。

但是， 目前存在的部分图像修复技术仍存在一些不足之处。

例如TV 模型在图像平滑区域容易产生阶梯效应。本文将总结几类现有的高效稳定、且修复效果较好的图像修复数值模型。

2. 几类图像修复的数值模型 2.1. 改进的TV 模型图像修复方法 CHAN 和SHEN 建立了基于能量最小化原则的统一修复模型，该模型能量函数的解是利用变分原理转化的，因此被称为整体变分(TV)模型[10]，被应用于图像修复领域，并取得了良好效果。随后Chan 等人在此基础上，建立起基于TV 模型的图像修复模型。因此，TV 模型是图像修复领域中最经典、应用最广泛的模型之一。首先引入一个以梯度模值作为参数的扩散函数，此类函数在小梯度区域，扩散函数取值较大，增强图像的平滑度；在大梯度区域，扩散函数取值较小，降低图像的平滑度，保护了图像的边缘信息，也提高了图像的修复速度。基于TV 模型的代价函数为 ( )(), , d d , R uru x y tx yΩ=∇∫ (1) 其中D 为图像的待修补区域；Ω为图像的全区域；()0, ,0uu x y=为待修复图像的初始值；(), , u x y t 为t时刻修复后图像的像素值；∇是梯度算子；r 为非负实数。需要选择一个恰当的r 的函数，使得待修复区域以及修补边缘尽可能平滑。该式在修复过程中为保证修补区域及其边缘尽可能平滑并对噪声有良好处理效果，应满足下式： 2021d d, Duux yDσΩ−=Ω∫ (2) 其中 DΩ表示有效信息区域，σ 表示噪声的标准差。运用Lagrange 乘子法将以上两个式子转化为无约束条件的极值问题，其新代价函数为